Distribución normal

Distribución Normal

Se le llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en estadística y en la teoría de probabilidades.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.​Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Representación:

Función de densidad de probabilidad

Formula:

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .\\\end{aligned}}}$

donde:

• ${\displaystyle \mu }$ es la media (también puede ser la mediana, la moda o el valor esperado, según aplique)
• ${\displaystyle \sigma }$ es la desviación típica [estándar es un anglicismo]
• ${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza
• ${\displaystyle \varphi }$ representa la función de densidad de probabilidad

Propiedades:

1. Es simétrica respecto de su media.
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media.
3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para ${\displaystyle x=\mu -\sigma }$ y ${\displaystyle x=\mu +\sigma }$.
4. Si ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ y ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, entonces ${\displaystyle aX+b\sim N(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}$.
5. Si ${\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$ e ${\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$ son variables aleatorias normales independientes.
6. Si ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma _{X}^{2})}$ e ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma _{Y}^{2})}$ son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas.
7. Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ son variables normales estándar independientes, entonces ${\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}}$ sigue una distribución χ con n grados de libertad.
8. Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ son variables normales estándar independientes