Ejercicios pagina 165, 166, 67

PROBLEMAS PAGINAS 165, 166, 167

5.51 La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro. 

5.52 Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6, ¿cuál es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? 

5.53 El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo particular en un almacén se realizan 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado se pida este artículo a) más de 5 veces? b) ninguna vez?

 5.54 Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga a) la tercera cara en el séptimo lanzamiento; b) la primera cara en el cuarto lanzamiento. 

5.55 Tres personas lanzan una moneda legal y el disparejo paga los cafés. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. 

5.56 De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, en Estados Unidos cerca de dos tercios de los 20 millones de personas que consumen Valium son mujeres. Suponga que esta cifra es una estimación válida, y encuentre la probabilidad de que en un día dado la quinta prescripción de Valium que da un médico sea a) la primera que prescribe Valium para una mujer; b) la tercera que prescribe Valium para una mujer. 

5.57 La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante aprobará el examen a) en el tercer intento; b) antes del cuarto intento. 

5.58 En promedio en cierto crucero ocurren tres accidentes de tránsito por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este crucero a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) ocurran menos de 3 accidentes? c) ocurran al menos 2 accidentes? 

5.59 Una secretaria comete dos errores por página, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? b) ningún error. 

5.60 Cierta área del este de Estados Unidos resulta, en promedio, afectada por 6 huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que para cierto año esta área resulte afectada por a) menos de 4 huracanes; b) cualquier cantidad entre 6 a 8 huracanes. 

5.61 Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a) la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo? b) la tercera persona en escuchar este rumor sea la primera en creerlo? 5.62 El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de 5 acres de trigo se estima en 12. Encuentre la probabilidad de que se encuentren menos de 7 ratas de campo a) en un acre dado; b) en 2 de los siguientes 3 acres que se inspeccionen. 

5.63 El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, 5 vegetales. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 vegetales a) en un día dado; b) en 3 de los siguientes 4 días; c) por primera vez en abril el día 5. 

5.64 La probabilidad de que una persona muera de cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2000 infectados de esta forma. 

5.65 Suponga que, en promedio, 1 persona en 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. 

5.66 Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes que se revisen en búsqueda de escoliosis, encuentre la probabilidad de que a) menos de 5 presenten el problema; b) 8, 9 o 10 presenten el problema. Ejercicios 165 166 Capitulo 5 Algunas distribuciones de probabilidad discreta 

5.67 a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el número de personas entre 2000 que mueren de la infección respiratoria del ejercicio 5.64. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el número de personas que morirán entre las 2000 infectadas caiga dentro de un intervalo? ¿De cuál? 

5.68 a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el número de personas entre 10,000 que cometen un error al preparar su declaración de impuestos del ejercicio 5.55. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿hay una probabilidad de al menos 8/9 de que el número de personas que cometerán errores al preparar sus declaraciones de impuestos entre 10,000 esté dentro de un intervalo? ¿De cuál?

 5.69 Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

 5.70 Los cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una planeación considerable. Los índices de llegadas de los aviones son factores importantes que deben tomarse en cuenta. Suponga que los aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto, de acuerdo con un proceso de Poisson, con un índice de 6 por hora. De esta manera, el parámetro de Poisson para las llegadas en un periodo de horas es μ = 6t. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 aviones pequeños lleguen durante un periodo de 1 hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 lleguen durante un periodo de 1 hora? c) Si definimos un día laboral como 12 horas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 75 aviones pequeños lleguen durante un día? 

5.71 El número de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz se supone que sigue una distribución de Poisson con media λ = 7. a) Calcule la probabilidad de que más de 10 clientes lleguen en un periodo de 2 horas. b) ¿Cuál es el número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? 

5.72 Considere el ejercicio 5.66. ¿Cuál es el número medio de estudiantes que fallan en el examen? 

5.73 La probabilidad de que una persona muera cuando contrae una infección por virus es 0.001. De los siguientes 4000 infectados con virus, ¿cuál es el número medio que morirá? 

5.74 Una compañía compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Se utiliza un método que rechaza un lote si se encuentran 2 o más unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades. a) ¿Cuál es el número medio de unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unida des si el lote tiene 1% de defectuosas? b) ¿Cuál es la varianza? 

5.75 En el caso de cierto tipo de alambre de cobre, se sabe que, en promedio, ocurren 1.5 fallas por milímetro. Suponiendo que el número de fallas es una variable aleatoria de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta porción de alambre con longitud de 5 milímetros? ¿Cuál es el número medio de fallas en una porción de 5 milímetros de longitud? 

5.76 Los baches en ciertas carreteras pueden ser un problema grave y tener la necesidad constante de repararse. Con un tipo específico de terreno y mezcla de concreto, la experiencia sugiere que hay, en promedio, 2 baches por milla después de cierta cantidad de uso. Se supone que el proceso de Poisson se aplica a la variable aleatoria “número de baches”. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de un bache aparezca en un tramo de una milla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 baches ocurrirán en un tramo dado de 5 millas? 

5.77 En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por la cuestión del tráfico de personas en las salas de urgencias de los nosocomios. Para un hospital específico en una ciudad grande, el personal disponible no puede alojar el tráfico de pacientes cuando hay más de 10 casos de emergencia en una hora dada. Se supone que la llegada del paciente sigue un proceso de Poisson y los datos históricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora dada el personal no pueda alojar más al tráfico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 20 emergencias lleguen durante un turno de 3 horas del personal?

 5.78 En las revisiones de equipaje en el aeropuerto se sabe que 3% de la gente inspeccionada lleva objetos cuestionables en su equipaje. ¿Cuál es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a un individuo con un objeto cuestionable? ¿Cuál es el número esperado en una fila que pasa antes de que se detenga a un individuo?

 5.79 La tecnología cibernética generó un ambiente donde los “robots” funcionan con el uso de microprocesadores. La probabilidad de que un robot falle durante cualquier turno de 6 horas es 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que un robot funcionará durante al menos 5 turnos antes de fallar? 

5.80 Se sabe que la tasa de rechazo en las encuestas telefónicas es de aproximadamente 20%. Un reportaje del periódico indica que se encuestaron a 50 personas antes de que la primera rechazara. a) Comente acerca de la validez del reportaje. Utilice una probabilidad en su argumento. b) ¿Cuál es el número esperado de personas encuestadas antes de un rechazo? Ejercicios de repaso 

5.81 Durante un proceso de producción se seleccionan al azar 15 unidades cada día de la línea de ensamble para verificar el porcentaje de defectuosos. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de tener una unidad defectuosa es 0.05. En cualquier momento en que se encuentran dos o más unida des defectuosas en la muestra de 15, el proceso se detiene. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que aumente la probabilidad de unidades defectuosas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado el proceso de producción se detenga? (Suponga 5% de unidades defectuosas.) b) Suponga que la probabilidad de una unidad defectuosa aumenta a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún día dado el proceso de producción no se detenga? 

5.82 Una máquina automática de soldar se considera para la producción. Se considerará para su compra si es exitosa en 99% de sus soldaduras. De otra manera, no se considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo que realizará 100 soldaduras. La máquina se aceptará para la producción si no falla en más de 3 soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace una buena máquina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte una máquina ineficiente con 95% de soldaduras exitosas? 

5.83 Una agencia de renta de automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Honda y 4 Toyota. Si la agencia selecciona al azar 9 de estos automóviles para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones del centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Honda y 2 Toyota. 

5.84 Las llamadas de servicio llegan a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que a) no más de 4 llamadas lleguen en cualquier minuto; b) lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto; c) lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos. 

5.85 Una empresa de electrónica afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto proceso es 5%. Un comprador tiene un procedimiento estándar para inspeccionar 15 unidades que selecciona al azar de un lote grande. En una ocasión específica, el comprador encuentra 5 artículos defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de esta ocurrencia, dado que la afirmación de 5% de defectuosos es correcta? b) ¿Cuál sería su reacción si fuera el comprador? 

5.86 Un dispositivo electrónico de conmutación ocasionalmente falla y podría ser necesario su reemplazo. Se sabe que el dispositivo es satisfactorio si, en promedio, no comete más de 0.20 errores por hora. Se elige un periodo particular de cinco horas como “prueba” del dispositivo. Si no ocurre más de 1 error, el dispositivo se considera satisfactorio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo satisfactorio se considere que no lo es sobre la base de la prueba? Suponga que existe un proceso de Poisson. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo se acepte como satisfactorio cuando, de hecho, el número medio de errores es 0.25? De nuevo, suponga que existe un proceso de Poisson. 

5.87 Una compañía, por lo general, compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Se utiliza un método que rechaza un lote, si se encuentran dos o más unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tiene 1% de unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote que tiene 5% de unidades defectuosas? 

5.88 El propietario de una farmacia local sabe que, en promedio, llegan a su farmacia 100 personas cada ho ra. a) Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia. b) Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia. 

5.89 a) Suponga que lanza 4 dados. Encuentre la probabilidad de que obtenga al menos un 1. Ejercicios de repaso 167 168 Capitulo 5 Algunas distribuciones de probabilidad discreta b) Suponga que lanza 24 veces 2 dados. Encuentre la probabilidad de que obtenga al menos uno (1, l), es decir, que lanza “ojos de serpiente” [NOTA: La probabilidad del inciso a) es mayor que la del inciso b).]

EJERCICIOS RESUELTOS