Distribución de probabilidad de variables aleatorias, discretas y continuas

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, una distribución de probabilidades puede comprenderse como una frecuencia teórica, ya que describe cómo se espera que varíen los resultados.

Tipos de variables:

• Variable aleatoria: Es aquella cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio. Lo que quiere decir que son los resultados que se presentan al azar en cualquier evento o experimento.
• Variable aleatoria discreta: Es aquella que solo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado.
• Variable aleatoria continua: Es aquella que resulta generalmente de la medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Dada una variable aleatoria ${\displaystyle \scriptstyle X}$, su función de distribución, ${\displaystyle \scriptstyle F_{X}(x)}$, es

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathrm {Prob} (X\leq x)=\mu _{P}\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}}$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice ${\displaystyle \scriptstyle X}$ y se escribe, simplemente, ${\displaystyle \scriptstyle F(x)}$. Donde en la fórmula anterior:

${\displaystyle \mathrm {Prob} \,}$, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

${\displaystyle \mu _{P}\,}$ es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

${\displaystyle \Omega \,}$ es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE DISCRETA

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad solo toma valores positivos en un conjunto de valores de ${\displaystyle X}$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)}$

DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE CONTINUA

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$

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