Distribucion binomial y la distribucion hipergeometrica

Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

 Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. 

A uno de estos se denomina «éxito» y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, «fracaso», con una probabilidad q = 1 - p.

 En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. 

Características:

Su función de probabilidad es:

${\displaystyle \!f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x},\,\,\,\,0\leq p\leq 1}$

donde ${\displaystyle x=\{0,1,2,\dots ,n\},}$

siendo ${\displaystyle \!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!}$ las combinaciones de ${\displaystyle n\,\!}$ en ${\displaystyle x\,\!}$ (${\displaystyle x\,\!}$ elementos tomados de ${\displaystyle n\,\!}$ en ${\displaystyle x\,\!}$)

Distribución hipergeometrica

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (${\displaystyle 0\leq x\leq d}$) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades:

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a:

${\displaystyle P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}},}$

donde ${\displaystyle N}$ es el tamaño de población, ${\displaystyle n}$ es el tamaño de la muestra extraída, ${\displaystyle d}$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y ${\displaystyle x}$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación ${\displaystyle {a \choose x}}$ hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar ${\displaystyle x}$ elementos de un total ${\displaystyle a}$.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

${\displaystyle E[X]={\frac {nd}{N}}}$

y su varianza,

${\displaystyle Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}.}$

En la fórmula anterior, definiendo

${\displaystyle p={\frac {d}{N}}}$

y

${\displaystyle q=1-p\,,}$

se obtiene

${\displaystyle Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}.}$

Tabla Comparativa

Distribución Binomial	Distribución hipergeométrica
En casos de distribución binomial, la probabilidad es igual para cada ensayo. Porque se utilizan con población tan gigantes que su resultado de alguna prueba, no tendrá efecto sobre la probabilidad de un próximo resultado termine en un evento o en un no evento.	En la distribución hipergeométrica, cada ensayo cambia la probabilidad de el ensayo siguiente porque no hay remplazo. Se utiliza la distribución hipergeométrica con poblaciones pequeñas que el resultado de un ensayo tiene un gran efecto en la probabilidad de que el próximo resultado sea un evento o un no evento.